Persamaan kuadra

 Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi dua adalah 2 (dua).

Variabel dari suatu persamaan yang dimaksud adalah nilai yang belum ditentukan. Kalau di pelajaran, variabel ini sering dinyatakan dengan huruf x$x$.

Namun, variabel tidak terbatas pada x$x$ saja. Boleh diganti dengan p$p$, bisa dengan 2x$2x$ bahkan bisa diganti dengan huruf lain atau angka lain.

Lebih mudahnya, bayangkan saja variabel persamaan kuadrat ini adalah suatu kotak yang bisa diisi dengan sebarang sesuatu.

Jadi bentuk umum persamaan kuadrat

ax2+bx+c=0,   a≠0$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

 

dimana a,b,c∈R$a,b,c\in \mathbb{R}$ atau bilangan riil. Huruf x$x$ disebut variabel dari persamaan kuadrat, a$a$ dinamakan koefisien x2$x^2$, sedangkan b$b$ merupakan koefisien dari x$x$ dan c$c$ adalah konstanta.

Suatu persamaan dengan variabel yang belum ditentukan nilainya membutuhkan solusi.

Solusi di sini maksudnya adalah suatu nilai x$x$ yang memenuhi persamaan kuadrat. Dengan kata lain, jika nilai x$x$ disubtitusi ke dalam persamaan, maka persamaan bernilai benar.

Solusi dari persamaan kuadrat lebih dikenal dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Baca juga : Bagaimana petani memanfaatkan persamaan kuadrat.

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah semua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai yang apabila disubtitusikan ke dalam persamaan kuadrat akan menjadikan persamaan tersebut pernyataan yang benar.

Contoh 1
Bilangan x=2$x=2$ merupakan solusi dari persamaan kuadrat

3x2−13x+14=0$$3x^2-13x+14=0$$

karena jika nilai x=2$x=2$ disubtutisikan ke dalam persamaan kuadrat tersebut menjadi

3(22)−13(2)+143(4)−26+1412−26+14===000$$\begin{array}{rcl}3(2^2)-13(2)+14& =& 0\\ 3(4)-26+14& =& 0\\ 12-26+14& =& 0\end{array}$$

Jadi persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Oleh karena itu, x=2$x=2$ terbukti menjadi akar dari persamaan kuadrat 3x2−13x+14=0$3x^2-13x+14=0$.

Lalu bagaimana mencari semua akar-akar dari persamaan kuadrat?

Terdapat tiga macam cara untuk menemukan akar-akar persamaan, yaitu dengan pemfaktoran, kuadrat sempurna dan dengan memakai rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Kenapa ada tiga macam cara ya?

Terkadang pencarian akar-akar persamaan kuadarat lebih mudah ditemukan dengan menggunakan satu cara saja dibandingkan dengan cara yang lain.

Akan tetapi ada juga menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat bisa dikerjakan oleh ketiga cara tersebut.

Kita lihat cara yang pertama terlebih dahulu, yaitu pemfaktoran

#1. Pemfaktoran

Cara mencari akar-akar persamaan kuadrat yang pertama adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut.

Pemfaktoran ini adalah proses menjadikan persamaan kuadrat  menjadi perkalian dua faktor.

ax2+bx+c(x−x1)(x−x2)==00$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+bx+c& =& 0\\ (x-x_1)(x-x_2)& =& 0\end{array}$$

Nilai x1$x_1$ dan x2$x_2$  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ atau juga disebut solusi dari persamaan kuadrat.

#2. Kuadrat Sempurna

Salah satu untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan membentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kudarat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut

(x−a)2=b    dengan q>0$${\left(x-a\right)}^2=b\text{dengan }q>0$$

#3. Rumus

Cara yang paling cepat dan seringkali digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus abc$abc$. Barangkali cara ini adalah satu-satunya cara yang bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dalam bentuk apapun karena langsung mensubtitusikan nilai-nilai koefisien pada persamaan kuadrat. Rumus mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+bx+c=0$a{x}^2+bx+c=0$ yang dimaksud adalah

x1,2=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Contoh

Cari akar-akar dari persamaan kuadrat

x2+x−2=0$$x^2+x-2=0$$

Cara I (Memfaktorkan)

Persamaan kuadrat x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ dapat difaktorkan menjadi

x2+x−2(x+2)(x−1)⇔x1x2====00−2  atau1$$\begin{array}{rcl}{x}^2+x-2& =& 0\\ (x+2)(x-1)& =& 0\\ \iff x_1& =& -2\text{atau}\\ x_2& =& 1\end{array}$$

Jadi akar-akar dari x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.

Cara II (Melengkapkan Kuadrat Sempurna)

x2+x−2x2+xx2+x+(12)2(x+12)2x+12⇔x1x2=−32−12=−2======022+1494±3232−12=1$$\begin{array}{rcl}{x}^2+x-2& =& 0\\ x^2+x& =& 2\\ x^2+x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2& =& 2+\frac{1}{4}\\ {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2& =& \frac{9}{4}\\ x+\frac{1}{2}& =& \pm \frac{3}{2}\\ \iff x_1& =& \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\\ x_2=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\end{array}$$

Jadi akar-akar dar ix2+x−2=0$x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.

Cara III (Rumus abc$abc$)

Dari persamaan kuadrat x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ diperoleh koefisien-koefisien a=1,b=1,c=−2$a=1,b=1,c=-2$. Dengan memakai rumus abc$abc$ diperoleh

x1,2⇔x1x2=====−b±b2−4ac−−−−−−−√2a−1±12−4⋅1⋅(−2)−−−−−−−−−−−−√2⋅1−1±9–√2−1−32=−2−1+32=1$$\begin{array}{rcl}{x}_{1,2}& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}\\ & =& \frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}\\ \iff x_1& =& \frac{-1-3}{2}=-2\\ x_2& =& \frac{-1+3}{2}=1\end{array}$$

Jadi akar-akar dari x2+x−2=0$x^2+x-2=0$ adalah -2 dan 1.

#2. Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat dibedakan berdasarkan nilai diskriminan D=b2−4ac$D=b^2-4ac$. Jenis akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

1. Nilai diskriminan D>0$D>0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang berlainan, yaitu x1≠x2$x_1\ne x_2$
2. Nilai diskriminan D=0$D=0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang sama, yaitu x1=x2$x_1=x_2$
3. Nilai diskriminan D<0$D<0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan imajiner
4. Nilai diskriminan D=k2$D=k^2$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan rasional.

Contoh
Jika persamaan kuadrat x2−mx+4=0$x^2-mx+4=0$ mempunyai akar-akar bilangan imajiner, maka berapa nilai bilangan bulat m$m$?

Solusi Persamaan kudrat x2−mx+4=0$x^2-mx+4=0$ memberikan nilai a=1;b=−m,c=4$a=1;b=-m,c=4$. Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar imajiner adalah D=b2−4ac<0$D=b^2-4ac<0$

b2−4ac(−a)2−4(1)(4)a2−16(a−4)(a+4)<<<<0000$$\begin{array}{rcl}{b}^2-4ac& <& 0\\ (-a{)}^2-4(1)(4)& <& 0\\ a^2-16& <& 0\\ (a-4)(a+4)& <& 0\end{array}$$

Oleh karena itu nilai bilangan bulat m$m$ adalah {−3,−2,−1,⋯,3}$\left\{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{\cdots }\mathbf{,}\mathbf{3}\right\}$.

#3. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

Hasil operasi akar-akar persamaan kuadrat bisa langsung diketahui tanpa terlebih dahulu mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumusan yang dipakai adalah dengan mengunakan koefisien-koefisien yang membentuk persamaan kuadrat. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah x1$x_1$ dan x2$x_2$ maka

x1+x2x1⋅x2x21+x22(x1−x2)2x31+x321x1+1x2======−baca(x1+x2)2−2x1x2b2−4aca2(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x1+x2x1x2$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\\ x_1^2+x_2^2& =& {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\\ {\left(x_1-x_2\right)}^2& =& \frac{b^2-4ac}{a^2}\\ x_1^3+x_2^3& =& {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)\\ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}& =& \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}\end{array}$$

Contoh
Jumlah kebalikan akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2−9x+4=0$3x^2-9x+4=0$ adalah

Solusi  Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat 3x2−9x+4=0$3x^2-9x+4=0$ adalah a=3;b=−9;c=4$a=3;b=-9;c=4$. Jadi diperoleh nilai

x1+x2x1⋅x2==−ba=93=3ca=43$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b}{a}=\frac{9}{3}=3\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}=\frac{4}{3}\end{array}$$

Oleh karena itu, jumlah dari kebalikan akar-akarnya adalah 1x1+1x2=x1+x2x1x2=34/3=94$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{3}{4/3}=\frac{9}{4}$.

Posted in: MATEMATIKA