kongruenan

 

Kekongruenan

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Jika kita hubungkan dengan materi sebelumnya yaitu transformasi, maka kita bisa katakan bahwa semua bangun datar yang  ditransformasi dengan cara refleksi, translasi dan rotasi memiliki sifat kekongruenan. 

Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu: 

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan 

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Sudut-sudut yang bersesuaian: 

 ∠A dan ∠J → m∠A = m∠J 

 ∠B dan ∠K → m∠B = m∠K 

 ∠C dan ∠L → m∠C = m∠L 

 ∠D dan ∠M → m∠D = m∠M 

Sisi-sisi yang bersesuaian: 

 AB dan JK → AB = JK 

 BC dan KL → BC = KL 

 CD dan LM → CD = LM 

 DA dan MJ → DA = MJ 

Jika bangun ABCD dan JKLM memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun ABCD dan JKLM kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM. Jika bangun ABCD dan JKLM tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun ABCD dan JKLM tidak kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM. 

Contoh Soal :

1. Segi empat ABCD dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Manakah sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian?

Alternatif Penyelesaian:

2. Manakah persegi di bawah yang kongruen? Jelaskan!

Alternatif Penyelesaian: 

Dua bangun dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu: 

(i) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegi (a), (b) dan (c) besarnya pasti sama.

(ii) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang 

Persegi (a) dan persegi (b) 

Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (b) tidak sama panjang. 

Persegi (b) dan persegi (c) 

Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (b) dan (c) tidak sama panjang. 

Persegi (a) dan persegi (c) 

Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah 8 cm. 

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (c) sama panjang. Berdasarkan (i) dan (ii) di atas, maka persegi yang kongruen adalah persegi (a) dan (c). 

3. Perhatikan gambar trapesium ABCD dan PQRS yang kongruen di bawah ini.

a. Jika panjang sisi AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR. 

b. Jika besar ∠A = 60o , ∠B = 40o . Berapakah besar ∠R dan ∠S? (selanjutnya, besar ∠A ditulis dengan m∠A, seperti yang sudah kamu kenal di kelas 7 dan 8) 

Alternatif Penyelesaian: 

Diketahui: bangun ABCD ≅ PQRS, berarti 

• sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang 
• sudut-sudut yang bersesuaian sama besar 

a. Untuk menentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR, tentukan terlebih dulu sisisisi yang bersesuaian yaitu:

(mengapa bukan AB = SR? Jelaskan) 

Dengan demikian, jika AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm maka: 

AD = PS = 15 cm 

DC = SR = 16 cm 

QR = BC = 21 cm 

PQ = AB = 40 cm

b. Untuk menentukan m∠R dan m∠S, tentukan terlebih dulu sudut-sudut yang bersesuaian yaitu:

Dengan demikian, jika m∠A = 60o , m∠B = 40o maka: 

m∠P = m∠A = 60o dan 

m∠Q = m∠B = 40o 

m∠R + m∠Q = 180o 

m∠R = 180o – m∠Q 

m∠R = 180o – 40o 

m∠R = 140o 

m∠S = 180o – m∠P 

m∠S = 180o – 60o 

m∠S = 120o Jadi 

m∠R = 140o dan m∠S = 120o .

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Dua segitiga dikatakan kongruen jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini: 

(i) sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang 

(ii) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Sisi-sisi yang bersesuaian:

AB dan DE → AB = DE

BC dan EF → BC = EF

CA dan FD → CA = FD

Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan ∠D → m∠A = m∠D

∠B dan ∠E → m∠B = m∠E

∠C dan ∠F → m∠C = m∠F

atau dengan kata lain 

Jika ∆ABC dan ∆DEF memenuhi syarat tersebut, maka ∆ABC dan ∆DEF kongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≅ ∆DEF. 

Jika ∆ABC dan ∆DEF tidak memenuhi syarat tersebut maka maka ∆ABC dan ∆DEF tidak kongruen, dinotasikan dengan ∆ABC ≇ ∆DEF.

Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak , tidak perlu menguji semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu kondisi berikut ini: 

1. Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sisi – sisi.
2. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria sisi – sudut – sisi.
3. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sisi – sudut.
4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut – sudut – sisi.
5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian sama panjang.

Contoh Soal

1. Perhatikan gambar di bawah.

Buktikan bahwa ∆ABC ≅ ∆EDC.

Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa: 

AC = EC (diketahui ada tanda sama panjang) 

m∠ACB = m∠ECD (karena saling bertolak belakang) 

BC = DC (diketahui ada tanda sama panjang) 

Jadi, ∆ABC ≅ ∆EDC (berdasarkan kriteria sisi – sudut – sisi).

2. Perhatikan gambar di bawah.

Buktikan bahwa ∆PQS ≅ ∆RQS.

Alternatif Penyelesaian: Berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa: 

PQ = RQ (diketahui ada tanda sama panjang) 

PS = RS (diketahui ada tanda sama panjang) 

QS pada ∆PQS sama dengan QS pada ∆RQS (QS berimpit) 

Jadi, ∆PQS ≅ ∆RQS (berdasarkan kriteria sisi – sisi – sisi).

Posted in: MATEMATIKA